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我始终认为，数学家首先是一个观察者——一个眺望远处连绵不断的山峰，并记录下所见所闻的人。
——哈代
发现数学世界的规律和法则，这只是数学家日常工作的一部分。他们的另一部分工作则是证明这些规律的存在。
数学的创新历程往往始于猜想。猜想通常又源于数学家的直觉，而这一直觉是他们长久以来在探索数学世界的过程中形成的。他们能够感知到探索之路充满坎坷、遍布荆棘。
有时候，简单的数学实验就能揭示一个人们猜测可能会一直存在的规律。比如，17 世纪的数学家发现了一种用来测试数字 N 是否为素数的方法：先计算 2 的 N 次幂，再将其除以N，如果余数为 2，那么这个数就是素数。他们觉得这种方法应该是正确的。借助高斯的时钟计算器，数学家尝试在时钟上用 N 小时刻度来计算2N 的值。那么难点就在于证明这个猜测是否正确了。这些数学上的猜想或预测，专业名词叫作“猜想”或者“假设”。
数学上的猜想只有被证明后才能称作“定理”。正是有了这么一个从“猜想”或“假设”到“定理”的过程，数学才能逐渐发展成一门成熟的学科。费马给数学界留下了大量的预测。后来的几代数学家们，也因证明费马的预测而留名青史。
高斯上学时的经历，正是猜想通过证明蜕变为定理的过程的缩影。高斯创建了一个公式，可以生成任何你想要的三角形数。但他如何保证这一公式放之四海而皆准呢？他的确无法通过测试列表中的每个数来检测公式是否能给出正确答案，因为这个列表无限长。相反，他借助了数学证明这一有力的武器。将两个三角形拼成一个矩形，无须进行无限次的验算，就能保证公式始终成立。
来自剑桥大学的数学家哈代著有《一个数学家的辩白》一书。他常常把数学发现和证明的过程描述为勾勒远景。他写道：“我始终认为，数学家首先是一个观察者——一个眺望远处连绵不断的山峰，并记录下所见所闻的人。”一旦数学家发现了远处的山峰，接下来要做的就是向人们描述如何才能到达那里。
你从一个风景熟悉而又平淡的地方出发。这片熟悉之地的边界内，有数学公理、那些与数字有关的不证自明的真理，以及那些已得到证明的命题。证明，它就像一条从这片故土穿过数学风景，通往远处山峰的道路。行进速度则受制于演绎法，正如下棋时要合理移动棋子一样，要想通关，你得下对棋。有时候你会陷入僵局，这时就要剑走偏锋，走走边路或者回头路，做到险中求胜。有时候你还需要等待新武器的出现，比如高斯发明的时钟计算器，以便能继续攀登。
对于数学观察者，哈代这样描述：
虽然只需轻轻一瞥，即可获得 B，但他们还是敏锐地发现了 A。最后，他们发现了 A 通向的一处山脊。沿着山脊一直走到尽头，他们发现到达了 B。他们如果希望别人也能看到，就以一种直接的方式或以一种自己能识别的方式指向它。当他们的学生也能看出其中的玄机时，这个研究、理论或证明就算完成了。
证明的过程就是描述数学家通往地图坐标处的那段跋山涉水的旅程。阅读该证明过程的读者，也能体会到如作者般拨云见日的心路历程。这一切不仅因为他们最终发现了登顶的道路，还因为他们明白新发现不会破坏新路线。通常，证明里的 i 懒得加点，t 也懒得加横杠。这是为了描述旅程，而不是为了重现每一步。数学家在证明中提供的论据，旨在为读者在脑海中勾勒出一座山峰。哈代常常将我们给出的论据形容为“具有吸引力的浮夸辞藻，上课时挂在黑板上的图片，以及激发学生想象力的教具”。
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