我们在学习数学的时候，常常迷失在具体的细节当中，而忽略了本质，当然我不是在说技术细节不重要，任何有价值的数学论文都充斥着大量的技术细节，任何严肃想要去探讨数学问题的人，都需要去学习掌握这些细节，不过这应该不是我要做的事。我一般给初学者的建议是先学会如何使用这些定理，当你决定真的在数学这条路上走下去的时候，再来研读这些细节。那么今天这期我们就来谈谈这个逼近定理的想法动机和本质。
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定理的想法很直观，我们最开始在学习连续函数的时候，接触的第一个例子就是多项式函数，因为它足够简单。于是很自然的想法就会诞生，我们可不可以用足够简单的多项式函数来代替连续函数，当然我们也很担心，我们还希望这种代替的误差不会太大，要不然就会失真，最好是能够任意逼近。
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如此一来，因为多项式函数能跟连续函数任意逼近，我们就可以利用多项式来研究连续函数。但在数学上事情不会如此简单，首先就是你在谈论逼近的时候，你必须有距离的概念，有了这个你才能衡量多项式与连续函数之间的逼近误差。事实上这些朴素的想法，正是当年魏尔斯特拉斯对函数逼近的研究。图片
19世纪德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）提出了这个定理，他当时的动机主要来自以下几个方面：
函数逼近的实用性：函数逼近是一直是数学中一个重要的问题，通过将一个复杂的函数逼近为一个简单的多项式函数，可以简化计算和分析过程。魏尔斯特拉斯希望找到一种方法，能够用多项式函数来逼近连续函数，以提供更便利的计算和研究。
序列逼近的研究：魏尔斯特拉斯是序列逼近的先驱之一。他研究了幂级数的性质和逼近性质，并致力于发展序列逼近的理论。逼近定理是他在这一领域的重要成果之一。
连续函数的逼近问题：魏尔斯特拉斯对于连续函数的逼近问题感兴趣。他想要证明，对于任意一个连续函数，是否存在一组多项式函数可以以任意精度逼近它。这种连续函数的逼近问题在当时是一个悬而未决的问题，魏尔斯特拉斯希望能够给出一个肯定的答案。
当然发展到今天，逼近定理再也不是它当初那个青涩的模样了，我们赋范空间上来叙述，这里我们只会描述一个大概轮廓，然而看几个逼近定理的应用。
我们通常会用C[a,b]这样的记号，表示定义在闭区间[a,b]上的连续函数，那么这样的函数构成的集合，上面是有一定代数结构的，首先它是一个向量空间（当然我们会函数的加法和数乘），同时它也是一个交换环，换言之它是一个交换代数。接着我们会在上面定义所谓的无穷范数。即：
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此时我们的C[a,b]加上我们刚刚定义的无穷范数，就成为赋范线性空间，在这样的空间上我们有很自然的距离结构，我们只需定义：
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我们很容易验证我们上面定义的d(f,g)满足距离的三条公理，因而成为一个度量空间。
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不仅如此，在这样的距离下，任意的柯西列实数完备性——柯西列介绍，都收敛于一个连续的函数（即一致收敛），所以这样的空间是一个完备的空间，即Banch空间。
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有了上面的代数语言的叙述，我们就可以在抽象空间中发展逼近定理，即Stone-Weierstrass定理：
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